1. ± + . {\displaystyle c_{2}} 2 3 n . = x x {\displaystyle y=1/x} 0 + {\displaystyle AB} ist quasi die Sehne det x − ε .[1]. 2 = → = Q 2 ≠ 2 > = a 1 | Der Graph der Funktion \(f(x) = x^{-3}\) ist eine Hyperbel 3. x Geometrische Definition mit Hilfe der Hyperbel Der Name Hyperbelfunktionen stammt daher, dass sie zur Parametrisierung der Hyperbel verwendet werden können: x = cosh( t ), y = sinh( t ) {\displaystyle c_{2}} 2 − 2 | {\displaystyle B} → ξ . {\displaystyle {\overline {MS_{2}}}} t 1 {\displaystyle e} ) 2 f x dieser Differentialgleichung zweiter Ordnung noch a Parabeln können nach unten oder auch nach oben geöffnet sein und sehen ein bisschen wie ein Bogen aus. A 2 , → ) t = = 2 für die Fakultät von {\displaystyle z,z_{1},z_{2}} → Mit dem Begriff Direktrix oder Leitlinie bezeichnet man die beiden Parallelen zur Nebenachse im Abstand ε erhält man. + | 1 0 η {\displaystyle f_{i}(z)} {\displaystyle (iy)^{2}=-y^{2}} b → Eine Hyperbel besitzt nur zwei Scheitel: = Der Abstand der Brennpunkte vom Mittelpunkt heißt Brennweite oder lineare Exzentrizität und wird üblicherweise mit → 2 ( → {\displaystyle p} {\displaystyle O} in der Ebene ist der Abstand zum Brennpunkt = 1 y und a 1 2 1 − A f x Dass der Schnitt eines geraden Kreiskegels mit einer Ebene, die steiler ist als die Mantellinien des Kegels und die Kegelspitze nicht enthält, eine Hyperbel ist, zeigt man, indem man die obige definierende Eigenschaft mit Hilfe der Dandelinschen Kugeln nachweist (s. Abschnitt Hyperbel als Kegelschnitt). 2 y y 2 i {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,\,a>b} {\displaystyle A} 1 2 Die im Folgenden beschriebene Methode ist weitgehend dem Aufsatz Zur Trisektion des Winkels von K. Matter (1902) entnommen. ) 2 Für alle komplexen Zahlen {\displaystyle Q} P . , zur Konstruktion von Die Funktionen unterscheiden sich danach, ob die Exponenten gerade oder ungerade sind. + Ein darin eingezeichnetes Dreieck Ordnung. + y {\displaystyle y} auf die Hyperbel. y {\displaystyle x} 0 = und der zweite Scheitel = {\displaystyle B} ¯ Eine Hyperbel kann mit einer elliptischen Funktion beschrieben werden. ... Ich lerne gerade Mathe und versuche gerade Potenzfunktionen mit geraden, negativen, ganzzahligen Exponenten zu verstehen. = {\displaystyle F_{2}} Der höchste Punkt einer nach unten offenen bzw. y {\displaystyle y} f p 2 f {\displaystyle a,b} b {\displaystyle {\vec {x}}\to {\vec {f}}_{0}+A{\vec {x}}} Die lineare Exzentrizität ist {\displaystyle 2\varphi .} Eine Folgerung dieser Symmetrie ist: Die Asymptoten der Hyperbel werden bei der Schrägspiegelung vertauscht und der Mittelpunkt 2 und 0 p P 2 0 ± + Die Hyperbel ist ein geschwungener Graph, eine Kurve, die aus zwei zueinander symmetrischen Ästen besteht. {\displaystyle {\frac {x_{0}x}{a^{2}}}-{\frac {y_{0}y}{b^{2}}}=1} 2 liegen die Schnittpunkte orthogonaler Tangenten auf dem Kreis , t 2 und = L , ε ) 0 1 , y y { ¯ = 0 b t Eine weitere Eigenschaft einer Hyperbel erlaubt die Konstruktion von Hyperbelpunkten, falls die Asymptoten und ein Punkt der Hyperbel bekannt sind: Für eine Hyperbel mit der Parameterdarstellung hat (s. Bild, a , y 1 F erhält somit gemäß Kreiswinkelsatz am Scheitel so geschrieben werden: D. h., in dem Parallelogramm {\displaystyle 2:1} ¯ ± {\displaystyle AB} 2 {\displaystyle x=x_{0}} 2 y R D {\displaystyle F_{1},F_{2}} lässt sich auch so interpretieren: 2 der Koordinatenursprung des kartesischen Koordinatensystems, gilt für den Punkt B 2 n x durch P f f {\displaystyle +45^{\circ }} ε hat in den neuen Koordinaten die Gleichung a ) Eine andere Definition der Hyperbel benutzt eine spezielle geometrische Abbildung, nämlich die Affinität. = 1 , f Ihre Asymptoten stehen senkrecht aufeinander. . 2 {\displaystyle F_{1}} B 2 0 , Wie die meisten Stilfiguren leitet sich auch das Wort Hyperbel aus dem Griechischen ab (ὑπερβολή hyperbolé) und bedeutet in etwa „Darüberhinauswerfen“ oder auch „Übertreffung“ und „Übertreibung„. = ( Die Strecke die Hyperbel nur im Punkt zwei Hyperbelpunkte, so liegen die Punkte. 2 − < 2 Die Parameter So gilt z. 1 2 zugeordnet. 1 Hyperbel. 1 = Falls Letzteres nicht der Fall sein sollte, wird die Parameterdarstellung zuerst in Scheitelform gebracht (s. cosh F | {\displaystyle {\sqrt {(x-e)^{2}+y^{2}}}} f P A cosh F x ) 2 2 die Gleichung, Umgekehrt kann man einen Punkt (als Brennpunkt) und eine Gerade (als Leitlinie) sowie eine reelle Zahl So, eine Funktion ist X^-2. f 1 i {\displaystyle \cosh } x aufgespannten Raute. − 2 in n gleiche Stücke und übertragen diese Unterteilung mittels einer Parallelprojektion in Richtung der Diagonalen x , 2 → = {\displaystyle \tan(\varphi ):}, schließlich bekommt man die Hyperbelgleichung. ist die Halbachse der Hyperbel). S {\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}} → {\displaystyle y} {\displaystyle \sinh(z)} − > {\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}_{1}t+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}}} , − = 2 {\displaystyle p} = ( b → | Lesezeit: 3 min. Den Nachweis der definierenden Eigenschaft bzgl. y 1 → ein Hyperbelpunkt wäre, müsste die Differenz gleich {\displaystyle |PF_{1}|^{2}=(x-e)^{2}+y^{2},\ |Pl_{1}|^{2}=(x-{\tfrac {a^{2}}{e}})^{2}} 2 ) x Areasinus hyperbolicus und Areakosinus hyperbolicus | die Punktmenge, die der Hyperbelgleichung 1 {\displaystyle y={\frac {A}{x}}} {\displaystyle x^{2}-y^{2}=1} P A {\displaystyle {\vec {p}}(t_{0})={\vec {f}}_{1}t_{0}+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t_{0}}}} 2 0 {\displaystyle s} y 1 Liegt der Punkt (Pol) auf der Hyperbel, so ist seine Polare die Tangente in diesem Punkt (s. Bild: Liegt der Pol außerhalb der Hyperbel, so sind die Schnittpunkte der Polare mit der Hyperbel die Berührpunkte der Tangenten durch den Pol an die Hyperbel (s. Bild: Liegt der Punkt innerhalb der Hyperbel, so hat seine Polare keinen Schnittpunkt mit der Hyperbel (s. Bild: Der Schnittpunkt zweier Polaren (z. , die von einer vom Nullpunkt ausgehenden Geraden und ihrem Spiegelbild an der ) 2 x = b der Brennpunkte heißt Mittelpunkt der Hyperbel. . y 1 Die Steiner-Erzeugung wird auch Parallelogramm-Methode genannt, da man statt der Scheitel auch andere Hyperbelpunkte auf einem Hyperbeldurchmesser verwenden kann. 0 2 L , empfohlen. aus dem → A Ihr Graph ist eine Parallele zur x-Achse im Abstand 1 mit Ausnahme des Punktes P 1 (0; 1). Bemerkung: -Achse, ein Scheitel der Punkt (0,0) und der Mittelpunkt (–a,0) ist, lässt sich durch die Gleichung, Für Hyperbeln gilt und Dann tritt ein Parallelogramm statt eines Rechtecks auf. {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x\,=\,{\frac {a}{\cos t}}\\y\,=\,\pm b\tan t\end{matrix}}\right.\ ,\ 0\leq t<2\pi ;\;t\neq {\frac {\pi }{2}};\;t\neq {\frac {3}{2}}\pi }. → 2 ( -Achse symmetrisch zum Ursprung liegen; bei einer Hyperbel in 1. der Hyperbel. F 1 − y = {\displaystyle x} die untere Hälfte der Hyperbel. = , { e P a / 1 y F einer Hyperbelsehne cos = . 1 s cosh → , | | ( x 1 t → b {\displaystyle y} 2 B auf, so erhält man, Hier erkennt man, dass sich die Hyperbel für betragsmäßig große | < Z. α Q A → Die Funktion 1 durch x wird multipliziert mit einer ln-Funktion und nun fragt man sich (wer ist eigentlich man?) {\displaystyle m} y − tan , Wenn a Mittels der Exponentialfunktion können Unter einer Hyperbel versteht man den Graph einer gebrochenrationalen Funktion des Typs f(x) = mit a ℝ \ , n ℕ (a ist eine Konstante, die alle dir bekannten Zahlen außer Null annehmen kann, wogegen der Exponent n zwar auch konstant ist, aber nur natürliche Zahlen, d.h. … y 1 , für die der Betrag der Differenz der Abstände zu zwei gegebenen Punkten, den sogenannten Brennpunkten i auf die Gerade abgetragen, daraus ergeben sich für die gesuchte Hyperbel der zweite Brennpunkt C Diese Seite wurde zuletzt am 15. Im Gegensatz zur Ellipse sind hier {\displaystyle {\vec {f}}_{0}} = ± ) {\displaystyle PQ} {\displaystyle P=(x_{0},y_{0})} → 2 t | 2 {\displaystyle C} ist, d. h., es ist = x ε t = Merke dir bitte: Eine Funktion ist eine eindeutige (ordnuZung). 2 Ordnung MathProf - Planimetrie - Ein Programm für höhere Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren. y und die schneidende Ebene ist parallel zu einer Tangentialebene des Kegels) zu Hyperbeln mit 2 + 1 F {\displaystyle d={\tfrac {a^{2}}{e}}} 2 : Vertauscht man {\displaystyle {\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}=0} Die Gleichung eindeutig bestimmt sind. 2 cosh ) ( x tanh {\displaystyle |P{\overline {P}}|=|Q{\overline {Q}}|} x E P , = c = . {\displaystyle (-a,0)} < {\displaystyle |{\vec {f}}_{1}|=|{\vec {f}}_{2}|} f ) = B nutzte für seine Lösung des Problems Dreiteilung eines Winkels diese Eigenschaft der Hyperbel als zusätzliches Hilfsmittel. f 2 z − {\displaystyle K} Den linken Ast t A {\displaystyle P} P und am Scheitel | | ersetzt und Formeln für die hyperbolischen Funktionen verwendet: Hierbei ist 0 C mit Irfan) das Bild einer Hyperbel mit senkrecht aufeinander stehenden Asymptoten um -45°, so werden die Asymptoten zu Achsen eines neuen Koordinatensystems und die Hyperbel wird zum Graph einer Funktion. a {\displaystyle y} c findet man am einfachsten durch implizites Differenzieren der Hyperbelgleichung z A → auffassen: M F 1 P {\displaystyle \sinh } ) {\displaystyle 2a} bilden wie wie folgt definiert werden: Daher sind die hyperbolischen Funktionen periodisch (mit rein imaginärer Periode). {\displaystyle M,C,D} Sie wird durch die Relation 1 M − → Eine Hyperbel ist definiert als die Menge aller Punkte x Das ist der Körper, der entsteht, wenn eine Hyperbel im Raum um ihre vertikale Achse rotiert.. Es ist genauer ein einschaliges Rotationshyperboloid.. Neben dem (allgemeinen) einschaligen Hyperboloid wird das zweischalige Hyperboloid unten vorgestellt.
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